第一百零二章 素数问题
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“在1900年的巴黎第二届国际数学家大会上，著名数学家希尔伯特发表了名为《数学问题》的演说，在演说中他依据十九世纪数学研究的成果与发展趋势，提出了二十三个他认为是数学界最重要的问题。”
北师大数学科学学院的一间教室里，特邀前来作数学讲座的中国科技大学“华罗庚班”的指导老师王允教授正在给学生们进行演讲。
场下学生挤得满满当当，黑压压的座无虚席。
“这二十三个问题可以分为四大块，第一到第六问题是数学基础问题；第七到第十二问题是数论问题；第十三到第十八问题属于代数和几何问题；第十九到第二十三问题属于数学分析。”
“这些问题在被提出来之后的一百多年时间里，数学家们前赴后继，有很多已经被后来的数学界天才攻克了，比如根茨在1936年使用超限归纳法证明了第二题算术公理系统的无矛盾性；苏联数学家波格列洛夫在1973年解决了第四题，在对称距离情况下两点间以直线为距离最短线；日本的山迈英彦在1953年得到了第五题‘拓扑学成为李群的条件（拓扑群）’的完全肯定的结果。”
“但还是有一些题目只是得到了部分解决或者根本没有任何进展，这些都将是留给在座各位的终极问题……希望有朝一日你们中有人能够解决它们。”
在座的数学系学生听得很入神，他们眼睛一亮，但很快又熄灭了。
不是他们妄自菲薄，而是这些远远超出了他们的能力范围。
这些世界级的难题，稍稍有些自知之明的人就应该清楚这不是他们能解决的。
不过他们中还真有不自量力的人，只见坐在中间位置的胡裕辰用力捏了捏拳头，整个人昂扬出斗志，仿佛找到了一个证明自己的方法。
“我要向你发起挑战！”
于是在一个炎热的下午，周晨忽然看到跑到面前向他下战书的年青人。
“挑战什么？”周晨有些惊奇地看向他。这个准衙内偃旗息鼓了几个月，周晨还以为他已经放弃了呢，没想到这时居然跑到他面前来了。
“希尔伯特提出的二十三个最重要数学问题中的第八题‘素数问题’。”
胡裕辰看着周晨时表情有种莫名的紧张，对方可是获得了狄拉克奖章的人，在国内已经鲜少有其它的荣誉能将他击败，胡裕辰思前想后觉得唯一能击败他的办法就是同样找一个重量级的问题，虽然找数学问题向他发起挑战有些胜之不武，但如果自己获得数学方面的不亚于狄拉克奖章的大奖，那起码与他又站在了同一起跑线上。
“第八个问题……黎曼猜想、哥德巴赫猜想还是孪生素数猜想？”周晨微微一笑，感兴趣地问。
“都可以！”胡裕辰愣了一下，马上反应过来。他没想周晨竟然对第八题“素数问题”也有所了解，居然知道这个问题包含黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数猜想这三个素数猜想。
这让他不由谨慎了起来，莫非在数学这个专业上自己还会输不成？
不行！不能在气势上被他压倒！
“这次我们走着瞧，我一定会在你之前解决素数问题的。”胡裕辰帅气的脸庞有些扭曲，歇斯底里地朝周晨吼道。说完也不等周晨答复，转身急匆匆地走了。
“真是一个古怪的家伙……”看着他走远的背影，周晨嘀咕了一声。明明是可以靠脸吃饭的，偏偏要在数学上钻研，真是脑袋秀逗了。
不过胡裕辰的战书倒是令他很感兴趣，正打算建立新的数学体系而无处下手呢，周晨觉得或许这个“素数问题”可以作为引导他进入数学领域的开胃菜，没准还可以激活链式数据库中奥多文明关于数学的理解也说不定。
回到住处后，周晨将这件事跟杨曦说了一下，然后静下心开始努力钻研起来了。
首先是找资料，了解什么是素数问题、目前数学界的进展到哪种程度了，站在前辈的肩膀上看问题，总好过自己什么都不知道的瞎鼓弄，也可以少走许多弯路。
找完资料后便是参详前人的经验，然后在他们的基础上总结升华。
杨曦见周晨一副认真的样子，抿了抿嘴，安静地坐在了他旁边。
……
所谓的素数问题其实主要指的是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想，这三个猜想都是世界级的难度。其中最简单最基础的可能就是孪生素数猜想了。
这三个猜想的核心都是素数，那么什么叫素数？素数又称质数，是指大于1的自然数中只能被1和自身整除的数，比如：2、3、5、7、11、13、17……
孪生素数猜想最早起源自1849年法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出的一个一般猜想：对任意一个自然数k来说，都存在无穷多个p是素数，同时p+2k也是素数的情况。
而孪生素数猜想就是当k等于1时的情况，也就是说自然界中存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这里的素数对（p，p+2）就是孪生素数。
最简单的其实是11与13，这就是一对，但孪生素数猜想要求证明存在无数个（p，p+2）这样的素数对。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与“哥德巴赫猜想”的联系，因此不断有数学爱好者想要试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想，然而到目前为止还没有出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
想要证明孪生素数猜想，确实是一个挺难的工作，素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势，而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
在孪生素数的研究历史上，数学家们前赴后继，直到2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性的进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。
尽管间隔2与间隔7000万是一段很大的距离，但《Nature》报道还是称其为一个“重要的里程碑”。
张益唐的论文于5月14日在网络上公开，5月21日正式发表；可是就在5月28日，这个常数就被下降到了6000万，然后仅仅过了两天也就是5月31日，这个数字又下降到了4200万，又过了三天，6月2日，则是1300万；次日，500万；6月5日，40万。
人们不断地改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。就在2014年2月，张益唐的7000万已经被缩小到了246，即已经证明了存在无数多个（p，p+246）这样的素数对。
这似乎离2这个最终解决孪生素数猜想的距离越来越近了由于有了张益唐的突出贡献，所以孪生素数猜想已经变成三大素数猜想中最有可能被证明的猜想。
至于哥德巴赫猜想，也叫“1+1”猜想，难度比孪生素数猜想要高，与费马猜想（费马大定理）、四色猜想（四色定理）合称世界三大数学猜想。其中费马大定理和四色猜想分别被英国数学家怀尔斯教授在1995年和中国独立学者邓润华在2015年证明。
哥德巴赫猜想的源头是，1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中提出了一个大胆的猜想：任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3）。于是1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的回信中提到：任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2）。
显然，第一个猜想是第二个猜想的推论，因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。
后者通过整理变为：每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和的形式，这就是哥德巴赫猜想，也就是“1+1”——可以写成两个素数之和。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻哥德巴赫猜想的“大包围圈”。所谓的“9+9”，即：任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。
从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量缩小包围圈，当然最后的目标就是“1+1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快“6+6”、“5+5”、“4+4”相继被攻陷；直到1957年中国数学家王元证明了“3+3”、“2+3”；之后中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。
1965年，苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。
这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。
甚至有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
“在1900年的巴黎第二届国际数学家大会上，著名数学家希尔伯特发表了名为《数学问题》的演说，在演说中他依据十九世纪数学研究的成果与发展趋势，提出了二十三个他认为是数学界最重要的问题。”
北师大数学科学学院的一间教室里，特邀前来作数学讲座的中国科技大学“华罗庚班”的指导老师王允教授正在给学生们进行演讲。
场下学生挤得满满当当，黑压压的座无虚席。
“这二十三个问题可以分为四大块，第一到第六问题是数学基础问题；第七到第十二问题是数论问题；第十三到第十八问题属于代数和几何问题；第十九到第二十三问题属于数学分析。”
“这些问题在被提出来之后的一百多年时间里，数学家们前赴后继，有很多已经被后来的数学界天才攻克了，比如根茨在1936年使用超限归纳法证明了第二题算术公理系统的无矛盾性；苏联数学家波格列洛夫在1973年解决了第四题，在对称距离情况下两点间以直线为距离最短线；日本的山迈英彦在1953年得到了第五题‘拓扑学成为李群的条件（拓扑群）’的完全肯定的结果。”
“但还是有一些题目只是得到了部分解决或者根本没有任何进展，这些都将是留给在座各位的终极问题……希望有朝一日你们中有人能够解决它们。”
在座的数学系学生听得很入神，他们眼睛一亮，但很快又熄灭了。
不是他们妄自菲薄，而是这些远远超出了他们的能力范围。
这些世界级的难题，稍稍有些自知之明的人就应该清楚这不是他们能解决的。
不过他们中还真有不自量力的人，只见坐在中间位置的胡裕辰用力捏了捏拳头，整个人昂扬出斗志，仿佛找到了一个证明自己的方法。
“我要向你发起挑战！”
于是在一个炎热的下午，周晨忽然看到跑到面前向他下战书的年青人。
“挑战什么？”周晨有些惊奇地看向他。这个准衙内偃旗息鼓了几个月，周晨还以为他已经放弃了呢，没想到这时居然跑到他面前来了。
“希尔伯特提出的二十三个最重要数学问题中的第八题‘素数问题’。”
胡裕辰看着周晨时表情有种莫名的紧张，对方可是获得了狄拉克奖章的人，在国内已经鲜少有其它的荣誉能将他击败，胡裕辰思前想后觉得唯一能击败他的办法就是同样找一个重量级的问题，虽然找数学问题向他发起挑战有些胜之不武，但如果自己获得数学方面的不亚于狄拉克奖章的大奖，那起码与他又站在了同一起跑线上。
“第八个问题……黎曼猜想、哥德巴赫猜想还是孪生素数猜想？”周晨微微一笑，感兴趣地问。
“都可以！”胡裕辰愣了一下，马上反应过来。他没想周晨竟然对第八题“素数问题”也有所了解，居然知道这个问题包含黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数猜想这三个素数猜想。
这让他不由谨慎了起来，莫非在数学这个专业上自己还会输不成？
不行！不能在气势上被他压倒！
“这次我们走着瞧，我一定会在你之前解决素数问题的。”胡裕辰帅气的脸庞有些扭曲，歇斯底里地朝周晨吼道。说完也不等周晨答复，转身急匆匆地走了。
“真是一个古怪的家伙……”看着他走远的背影，周晨嘀咕了一声。明明是可以靠脸吃饭的，偏偏要在数学上钻研，真是脑袋秀逗了。
不过胡裕辰的战书倒是令他很感兴趣，正打算建立新的数学体系而无处下手呢，周晨觉得或许这个“素数问题”可以作为引导他进入数学领域的开胃菜，没准还可以激活链式数据库中奥多文明关于数学的理解也说不定。
回到住处后，周晨将这件事跟杨曦说了一下，然后静下心开始努力钻研起来了。
首先是找资料，了解什么是素数问题、目前数学界的进展到哪种程度了，站在前辈的肩膀上看问题，总好过自己什么都不知道的瞎鼓弄，也可以少走许多弯路。
找完资料后便是参详前人的经验，然后在他们的基础上总结升华。
杨曦见周晨一副认真的样子，抿了抿嘴，安静地坐在了他旁边。
……
所谓的素数问题其实主要指的是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想，这三个猜想都是世界级的难度。其中最简单最基础的可能就是孪生素数猜想了。
这三个猜想的核心都是素数，那么什么叫素数？素数又称质数，是指大于1的自然数中只能被1和自身整除的数，比如：2、3、5、7、11、13、17……
孪生素数猜想最早起源自1849年法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出的一个一般猜想：对任意一个自然数k来说，都存在无穷多个p是素数，同时p+2k也是素数的情况。
而孪生素数猜想就是当k等于1时的情况，也就是说自然界中存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这里的素数对（p，p+2）就是孪生素数。
最简单的其实是11与13，这就是一对，但孪生素数猜想要求证明存在无数个（p，p+2）这样的素数对。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与“哥德巴赫猜想”的联系，因此不断有数学爱好者想要试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想，然而到目前为止还没有出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
想要证明孪生素数猜想，确实是一个挺难的工作，素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势，而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
在孪生素数的研究历史上，数学家们前赴后继，直到2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性的进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。
尽管间隔2与间隔7000万是一段很大的距离，但《Nature》报道还是称其为一个“重要的里程碑”。
张益唐的论文于5月14日在网络上公开，5月21日正式发表；可是就在5月28日，这个常数就被下降到了6000万，然后仅仅过了两天也就是5月31日，这个数字又下降到了4200万，又过了三天，6月2日，则是1300万；次日，500万；6月5日，40万。
人们不断地改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。就在2014年2月，张益唐的7000万已经被缩小到了246，即已经证明了存在无数多个（p，p+246）这样的素数对。
这似乎离2这个最终解决孪生素数猜想的距离越来越近了由于有了张益唐的突出贡献，所以孪生素数猜想已经变成三大素数猜想中最有可能被证明的猜想。
至于哥德巴赫猜想，也叫“1+1”猜想，难度比孪生素数猜想要高，与费马猜想（费马大定理）、四色猜想（四色定理）合称世界三大数学猜想。其中费马大定理和四色猜想分别被英国数学家怀尔斯教授在1995年和中国独立学者邓润华在2015年证明。
哥德巴赫猜想的源头是，1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中提出了一个大胆的猜想：任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3）。于是1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的回信中提到：任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2）。
显然，第一个猜想是第二个猜想的推论，因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。
后者通过整理变为：每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和的形式，这就是哥德巴赫猜想，也就是“1+1”——可以写成两个素数之和。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻哥德巴赫猜想的“大包围圈”。所谓的“9+9”，即：任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。
从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量缩小包围圈，当然最后的目标就是“1+1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快“6+6”、“5+5”、“4+4”相继被攻陷；直到1957年中国数学家王元证明了“3+3”、“2+3”；之后中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。
1965年，苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。
这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。
甚至有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。