第八十三章 CMO赛场显神通（五）
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翌日上午八点，国决第二场开考。
第一题是道数论题，题目是这样的：
1
1-1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1-5-10-10-5-1
1-6-15-20-15-6-1
......
1、求第2019行数字之和；
2、取上述数字中的前100横作为模型，按某种特定规律向上或向下移动此模型中的任意列数字串，使得：移动后形成的模型，其前100横数字之和形成的数列an中，拥有最多项的斐波那契数。
3、求an的表达式。
这个看起来像黑客帝国里电脑代码的东西，就是杨辉三角，也被称作帕斯卡三角形。
对于杨辉三角，相信每一个高中生都不陌生，甚至不止是高中生，就连小学生也都接触过杨辉三角。
不信回去翻翻小时候的寒暑假作业，里面一定就有关于杨辉三角的思考题，一般都是观察数字排列规律，要求推算出三角里的某一个数字。
当然，小学生只能做出简单的杨辉三角，像是要求第2019项数字之和，这种靠纯推算，那就是算到死都算不出来的！
只能用杨辉三角的求和公式：第n行数字和为2n-1。
得出来的答案是22018。
第一问纯属送分题，能坐在国决赛场教室里的人，是绝不可能不知道杨辉数列的求和公式的。
难点在后面。
第二问，取杨辉三角的前100横作为模型，要求以特定规律上下移动模型中的任意列数字串，在移动后形成的新模型中，再取前100行数字之和形成新的数列an项中，使an的集中拥有最多的斐波那契数。
张伟抓着脑壳，感觉有点无从下手。
这第二问属于一个开放性的问题——还是放得超级开的那种开放性！而也正是因为这种开发性，才使得这一问非常的难！
一百列数字串，选择任意任意上下移动，这两个“任意”一组合，特么得有上亿种移动方案啊！
上亿种啊！
再加上每一次移动后，跟着还要运算100次才能得到an的所有项，也就是说要把全部移动方式下的an一一罗列出来，你需要经行100000000000次运算！
而且还是多项运算！
如果真的用这种罗列的傻办法解这道题，别说四个半小时了，就是给你四个半辈子你都算不出答案！
所以，这一题一定是有什么捷径的，否则这道题根本就是反人类嘛！
张伟先理了一下思路：第二问的第一步，应该得先确定如何移动数字串，因为只有先移动了数字串之后，an的集才是固定；而只有an的集固定以后，才能确定这个集里面究竟有多少个斐波那契数。
那么问题就来了，究竟该如何移动数字串呢？
这是个问题......
张伟把所有他想得到的数论知识点，逐一在脑子里面过了一边：
欧几里德的质数无限证明？倒是跟质数有关，但是跟这一题风马牛不相及啊；
中国剩余定理？用在这一题面前，倒是显得挺剩余的；
欧拉定理和费马小定理？高斯的二次互反律？或者无穷递降法？这些更是相去甚远......
“没道理啊！”快半个小时过去了，张伟还是束手无策，“第一题就这么难，这是存心不让人活了？”
百思不得其解的张伟，稍稍瞄了一下教室里其他的考生：一个个抓耳挠腮的，卷面同样是空空如也。
“看来辣鸡的不止我一个啊......”看到其他人和自己同样“辣鸡”，张伟心里就好受多了，“要不这题先放放？”
看看时间，还有四分钟就半个小时，张伟决定再试这最后四分钟。
前面顺着走怎么都走不通，张伟这次决定要反着走试试，大胆假设，小心求证：先大胆的假设，an的集就是有斐波那契数列的前100项！
张伟先把an的前十罗列出来：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.
再按照假设的an值来移动数字串：a1=1，不用移动；a2=1，第2列要往下移动1格；a3=2，第3列要往下移动2格；a4=3，第4列要往下移动3格......
刚移动了三下，好像就有规律了！将每一列都往下移动n-1格？
张伟按照这种规律，继续往下移动尝试着：
第5列往下移动5-1=4格，得到a5=5，符合！
第6列往下移动6-1=5格，得到a6=8，符合！
第7列往下移动7-1=6格，得到a7=13，还是符合！
第8列、第9列、第10列......
张伟一直移动到20列，全都符合！
答案出来了：按照“每一列数字串都往下移动n-1格”的规律移动数字串，移动后形成的模型，其前100横数字之和形成的数列an中的项，全部是斐波那契数！
第二小问，搞定！
第二问找到正确的规律，第三问在第二问的基础上，基本就属于送分题了：
f(1)=C(0,0)=1。
f(2)=C(1,0)=1。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)(m<=n-1-m)
第三问也搞定，打完收功，第一题21分——到手！
看看时间，8：46，才用了不到一个小时！再看看隔壁左右的考生，还是都对着空空如也的卷子抓耳挠腮在！
前方人员在抓耳挠腮；
左方人员在抓耳挠腮；
右方人员在抓耳挠腮；
后方人员在抓耳......不对啊！
张伟猛地一回头，又看到了昨天那位大叔！
刘干事和张伟大眼瞪着小眼。
“考试的时候不准东张西望！”刘干事把脸一板，假装从张伟身边路过......
又见路过——不管张伟信不信，反正刘干事自己是信了......
翌日上午八点，国决第二场开考。
第一题是道数论题，题目是这样的：
1
1-1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1-5-10-10-5-1
1-6-15-20-15-6-1
......
1、求第2019行数字之和；
2、取上述数字中的前100横作为模型，按某种特定规律向上或向下移动此模型中的任意列数字串，使得：移动后形成的模型，其前100横数字之和形成的数列an中，拥有最多项的斐波那契数。
3、求an的表达式。
这个看起来像黑客帝国里电脑代码的东西，就是杨辉三角，也被称作帕斯卡三角形。
对于杨辉三角，相信每一个高中生都不陌生，甚至不止是高中生，就连小学生也都接触过杨辉三角。
不信回去翻翻小时候的寒暑假作业，里面一定就有关于杨辉三角的思考题，一般都是观察数字排列规律，要求推算出三角里的某一个数字。
当然，小学生只能做出简单的杨辉三角，像是要求第2019项数字之和，这种靠纯推算，那就是算到死都算不出来的！
只能用杨辉三角的求和公式：第n行数字和为2n-1。
得出来的答案是22018。
第一问纯属送分题，能坐在国决赛场教室里的人，是绝不可能不知道杨辉数列的求和公式的。
难点在后面。
第二问，取杨辉三角的前100横作为模型，要求以特定规律上下移动模型中的任意列数字串，在移动后形成的新模型中，再取前100行数字之和形成新的数列an项中，使an的集中拥有最多的斐波那契数。
张伟抓着脑壳，感觉有点无从下手。
这第二问属于一个开放性的问题——还是放得超级开的那种开放性！而也正是因为这种开发性，才使得这一问非常的难！
一百列数字串，选择任意任意上下移动，这两个“任意”一组合，特么得有上亿种移动方案啊！
上亿种啊！
再加上每一次移动后，跟着还要运算100次才能得到an的所有项，也就是说要把全部移动方式下的an一一罗列出来，你需要经行100000000000次运算！
而且还是多项运算！
如果真的用这种罗列的傻办法解这道题，别说四个半小时了，就是给你四个半辈子你都算不出答案！
所以，这一题一定是有什么捷径的，否则这道题根本就是反人类嘛！
张伟先理了一下思路：第二问的第一步，应该得先确定如何移动数字串，因为只有先移动了数字串之后，an的集才是固定；而只有an的集固定以后，才能确定这个集里面究竟有多少个斐波那契数。
那么问题就来了，究竟该如何移动数字串呢？
这是个问题......
张伟把所有他想得到的数论知识点，逐一在脑子里面过了一边：
欧几里德的质数无限证明？倒是跟质数有关，但是跟这一题风马牛不相及啊；
中国剩余定理？用在这一题面前，倒是显得挺剩余的；
欧拉定理和费马小定理？高斯的二次互反律？或者无穷递降法？这些更是相去甚远......
“没道理啊！”快半个小时过去了，张伟还是束手无策，“第一题就这么难，这是存心不让人活了？”
百思不得其解的张伟，稍稍瞄了一下教室里其他的考生：一个个抓耳挠腮的，卷面同样是空空如也。
“看来辣鸡的不止我一个啊......”看到其他人和自己同样“辣鸡”，张伟心里就好受多了，“要不这题先放放？”
看看时间，还有四分钟就半个小时，张伟决定再试这最后四分钟。
前面顺着走怎么都走不通，张伟这次决定要反着走试试，大胆假设，小心求证：先大胆的假设，an的集就是有斐波那契数列的前100项！
张伟先把an的前十罗列出来：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.
再按照假设的an值来移动数字串：a1=1，不用移动；a2=1，第2列要往下移动1格；a3=2，第3列要往下移动2格；a4=3，第4列要往下移动3格......
刚移动了三下，好像就有规律了！将每一列都往下移动n-1格？
张伟按照这种规律，继续往下移动尝试着：
第5列往下移动5-1=4格，得到a5=5，符合！
第6列往下移动6-1=5格，得到a6=8，符合！
第7列往下移动7-1=6格，得到a7=13，还是符合！
第8列、第9列、第10列......
张伟一直移动到20列，全都符合！
答案出来了：按照“每一列数字串都往下移动n-1格”的规律移动数字串，移动后形成的模型，其前100横数字之和形成的数列an中的项，全部是斐波那契数！
第二小问，搞定！
第二问找到正确的规律，第三问在第二问的基础上，基本就属于送分题了：
f(1)=C(0,0)=1。
f(2)=C(1,0)=1。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)(m<=n-1-m)
第三问也搞定，打完收功，第一题21分——到手！
看看时间，8：46，才用了不到一个小时！再看看隔壁左右的考生，还是都对着空空如也的卷子抓耳挠腮在！
前方人员在抓耳挠腮；
左方人员在抓耳挠腮；
右方人员在抓耳挠腮；
后方人员在抓耳......不对啊！
张伟猛地一回头，又看到了昨天那位大叔！
刘干事和张伟大眼瞪着小眼。
“考试的时候不准东张西望！”刘干事把脸一板，假装从张伟身边路过......
又见路过——不管张伟信不信，反正刘干事自己是信了......